WisFaq!

Lesliematrix

Kunt u mij helpen bij het volgende probleem?

De jaarlijkse verandering in de bevolkingsopbouw van een diersoort wordt gegeven door de volgende matrix:

      J     V     O           J=jong  V=volwassen ) = oud
J     0    1,8    3
V     0,5   0     0           De tijseenheid is 3 maanden
O     0    0,1    0

1. Doe een voorspelling over de grootte van de populatie op
   langere termijn (met de GR)
2. Doe m.b.v. de GR een voorspelling over de groeifactor
   van de populatie op langere termijn

Ik heb zelf het volgende gedaan: gemiddeld aantal nakomelingen: 0,5 . 1,8 + 0,5 . 0,1 . 3 = 1,05
Dit is groter dan 1, dus de populatie neemt toe, maar hoe?
Volgens mij is er geen exponentiële toename, als ik dit uitprobeer met diverse beginhoeveelheden.
Toch wordt er een groeifactor gevraagd op langere termijn.
Hoe kan ik dit doen?

Alvast bedankt

Katrijn
24-11-2008

Antwoord

Dag Katrijn,

Een geschikte populatie kun je vinden door met een willekeurige populatie te beginnen, bijvoorbeeld J=1, V=0 en O=0.
Dit levert de populatievector v:

Nu noem ik de matrix even m.
Bereken nu eens m¹⁰⁰*v, m¹⁰¹*v en m¹¹⁰*v
Bereken dan de totale populatie (J+V+O) voor de drie resultaten, je zou dan moeten krijgen: 7.00774, 7.16923 en 8.80086

Nu is 7.16923/7.007741.023 en 8.80086/7.007741.2559.
De tiende machtswortel uit 1.2559 is ook ongeveer 1.023.
Bereken ik nu ook m²⁰⁰*v en bepaal dan de totale populatie dan krijg ik 68.3994.
De honderdste-machts-wortel uit 68.3994/7.00774=9.7605^0.01 en dat is ook 1.023.
Dus de groeifactor op langere termijn is 1.023.

Je zou ter controle hetzelfde ook nog eens kunnen doen met een andere beginpopulatie v en iets anders gekozen hoge machten van m.

hk
25-11-2008