WisFaq!

Matrix-machten

Ik heb 2 vraagjes:

1) Bereken de norm van de matrix A= (0 1 1)
(0 0 1)
(0 0 0)

De norm van een matrix krijg je door de wortel van de grootste eigenwaarde van de hermitese matrix A·A te nemen.
A· = (0 0 0)
(1 0 0)
(1 1 0)

hieruit volgt dat A·A = (0 0 0)
(0 1 1)
(0 1 2)

Deze heeft karakteristiek polynoom -x³+(3x²)-x
Ontbinden in factoren en dan delen door x geeft:
-x²+3x-1
ABC-formule geeft nu:
D = 9-4 = 5
x(1)= ^3-Ö5)/_-2
x(2)= ^3+Ö5)/_-2

x(2) geeft je grootste eigenwaarde, dus je krijgt de norm door hier de wortel van te nemen, klopt dat?
en klopt de rest van de berekening?

2) Hoeveel normale reele matrices A zijn er met A²=(0 0)
(0 0)

Als A = (A1 A2)
(A3 A4)

krijgen we het stelsel:

A1·A1 + A2·A3 = 0
A1·A2 + A2·A4 = 0
A3·A1 + A3·A4 = 0
A3·A2 + A4·A4 = 0

maar ik had geen idee hoe nu verder te gaan, kunnen jullie me een zetje in de goede richting geven?

Donald
22-11-2008

Antwoord

Je eerste berekening klopt.
Wat je tweede vraag betreft: uit de eerste en vierde vergelijkingen volgt A1·A1=A4·A4, dus A1=A4 of A1=-A4. Als je ook de voorwaarde voor normaliteit uitschrijft krijg je nog vier vergelijkingen, waaruit je A2=A3 of A2=-A3 kunt afleiden. Door de resulterende vier gevallen apart na te lopen kom je op de mogelijke matrices uit.

kphart
24-11-2008