WisFaq!

Re: Re: Integraal van een rationele functie

Volgens mij werkt dit. Immers, uit 2y=x-a²/x volgt dat
2dy=(1+a²/x²)dx. Hierdoor ontstaat de volgende integraal
2ò1/[(1+a²/x²)*(4y2+b2)]dy,y van 0 naar oneidig.
Die extra factor in de noemer zit dus in de weg!

M. Wielders
14-11-2008

Antwoord

Meneer Wielders,
De substitutie gaat aldus:Uit 2y=x-a²/x,y loopt dus van -¥ naar +¥, volgt dat x²-2yx-a²=0,zodat x=y+Ö(y²+a²),(x0 gegeven)en
dx=(1+y/Ö(y²+a²))dy.Dit geeftò(1/(4y²+b²)(1+y/Ö(y²+a²))dy, y loopt van -¥ naar +¥.De integraal over het tweede deel van de integrand is nul,zodat resteert ò1/(4y²+b²)dy=2ò1/(4y²+b²)dy,y loopt van 0 naar +¥.Het verband tussen de beide integralen volgt uit het feit dat ò1/(1+t²)²dt=¹/₂ò1/(1+t²)dt, voor t van 0 naar +¥.Hopelijk zo duidelijk.

kn
14-11-2008