WisFaq!

Re: Integraal van een rationele functie

Het boek waaruit de opgave afkomstig is, behandeld de aangegeven aanpak niet. Het kan echter ook anders! Merk op dat de waarde van de gegeven integraal onafhankelijk is van de parameter a. Nemen we in de geven integraal a = 0 dan moeten we uiteraard hetzelfde resultaat vinden en.....dat blijkt ook zo te zijn. De integrand in de tweede integraal is het kwadraat van de integrand uit de eerste integraal! Bij de tweede integraal gaat het dus, op een factor p na, om het volume van het omwentelings-lichaam dat ontstaat door de grafiek van x-1ste integrand te wentelen om de X-as. Het is nu niet moeilijk om in te zien dat ook dit volume onafhankelijk zal zijn van de parameter a. Neem daarom a = 0 in de tweede integraal. Hierdoor ontstaat een tamelijk eenvoudige integraal die te evalueren is d.m.v. partiële integratie.
Het eindresultaat is nu p/(4b^3) QED.
Hiermee heb ik mijn eigen vraag beantwoord
De opgave is afkomstig uit de hernieuwde uitgave van de 10de druk van G.H. Hardy: A course of pure mathematics (blz. 396, opgave 34 en 35).

M. Wielders
3-11-2008

Antwoord

Dat de integraal onafhankelijk zou zijn van a lijkt mij vrijwel onmogelijk. a is gewoon een of andere functie van b die er voor zorgt dat het gegeven klopt. Dat gegeven hoeft niet meteen een waarheid te zijn.

Tenzij de integraal helemaal niet van 0 tot Pi loopt zoals een medebeantwoorder al suggereerde...

cl
3-11-2008