WisFaq!

Branch Points

Beste wisfaq, ik heb de volgende vraag:

Ik moet alle branch points van de functie

f(z)=[(z+1)^2(z+8)]^(1/3)

vinden in “the extended complex plane” en een branch definieren die continue is in de oorsprong met f(0)=2exp(2 pi i /3). Daarnaast moet ik f(-9) vinden.

Tot nu toe ben ik als volgt te werk gegaan:

We hebben: f(z)=(z-i)^(1/2)(z+i)^(1/3)(z+8)^(1/3)

f(z) heeft dan branch points voor z = +i, -i, 8 bij de ‘multivaluedness’ van z^(1/3) [Dit heb ik al eerder aangetoond].

Om te testen of f een branch point ∞ heeft subsitueren we 1/w voor z.
Dan als w naar 0 gaat is f(1/w) ongeveer 1/w en dus is er geen branch point voor z=∞.

Om een branch te kiezen definieer ik nu:

(z-i)= r_1 exp(i theta_1)
(z+i)=r_2 exp(i theta_2)
(z+8)= r_3 exp(i theta_3)

Dan hebben we

f(z) = (r_1r_2r_3)^(1/3)* exp(i (theta_1+theta_2+theta_3)/3)
=(r_1r_2r_3)^(1/3) e^(I Phi) waar phi = (theta_1+theta_2+theta_3)/3.

Het probleem is nu dat ik niet weet hoe ik het domein voor theta_1, theta_2 en theta_3 moet kiezen. Doordat ik daardoor f(z) niet kan vinden, kan ik f(-9) ook niet evalueren. Ik hoop dat jullie me hiermee kunnen helpen,

Herman

Herman de vries
3-11-2008

Antwoord

Je schrijfwijze f(z)=(z-i)^(1/2)(z+i)^(1/3)(z+8)^(1/3) klopt niet; in de oorspronkelijke functie komen alleen (z+1) en (z+8) voor.
Je kunt f(z) wel schrijven als (z+1)((z+8)/(z+1))^1/3; het voordeel is dat je nu één derdemachtswortel hebt, en wel uit (z+8)/(z+1) en dat is een Möbius-transformatie (of bilineaire transformatie), met inverse (z-8)/(-z+1). daarmee kun je van een snede voor z^1/3 makkelijk een snede voor f(z) maken. Je rekent makkelijk na dat het interval [-8,-1] door onze transformatie op de negatieve reële as wordt afgebeeld (de standaard snede voor de derdemachtswortel). Omdat f(0)==2exp(2 pi i /3) geeist wordt moet je de tak h(z) van de derdemachtswortel hebben die aan h(8)==2exp(2 pi i /3) voldoet en die is, in modulus-argument-vorm: h(re^iq) = exp(2 pi i /3)*r^1/3e^iq/3. Dus f(z)=(z+1)*h((z+8)/(z+1)) en f(-9) is dan -8*h(1/8) en die is nu makkelijk te vinden.

kphart
6-11-2008