WisFaq!

Vergelijkingen - bewijs

Hey, in een driehoek waar het volgende geldt: a+ß+ý= moet het volgende bewezen worden :
cosa+cosb+cosý-1=4sin(a/2)sin(ß/2)sin(ý/2)
Ik ben begonnen met op cosa en cosb de formule van Simpson toe te passen, maar nadien raak ik compleet vast.

In diezelfde drihoek moet ook het volgende bewezen worden : cos²a+cos²b+cos²ý= 1-2sinasinßcosý
Hierbij ben ik begonnen met 2sinasinß om te zetten naar sin2a maar daar ben ik later precies niets mee.

Alvast bedankt!

Thomas
2-12-2002

Antwoord

Beste Thomas,

Ik neem even A, B en C voor de grote hoeken en a, b en c voor de halve hoekjes.

Dus A+B+C= en a+b+c= /2.

Ik neem nu aan dat je verdubbelingsformules en somformules voor sin en cos weet.

Dan hebben we ten eerste de volgende afleiding:

sin(a+b+c) = sin( /2) = 1
sin(a)cos(b+c) + cos(a)sin(b+c) = 1
sin(a)cos(b)cos(c) - sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)sin(b)cos(c) + cos(a)cos(b)sin(c) = 1

Uit de laatste regel leiden we af dat

4sin(a)sin(b)sin(c) =
4sin(a)cos(b)cos(c) + 4cos(a)sin(b)cos(c) + 4cos(a)cos(b)sin(c) - 4 .....[1]

Aan de andere kant hebben we

cos(A) =
2cos²(a) - 1 =
2cos(a)sin( /2 - a) - 1 =
2cos(a)sin(b+c) - 1 =
2cos(a)cos(b)sin(c) + 2cos(a)sin(b)cos(c) - 1.

We vinden natuurlijk soortgelijke uitdrukingen voor cos(B) en cos(C) en door die op te tellen vinden we

cos(A) + cos(B) + cos(C) - 1 =
4sin(a)cos(b)cos(c) + 4cos(a)sin(b)cos(c) + 4cos(a)cos(b)sin(c) - 4 .....[2]

Combineren van [1] en [2] geeft de eerste gevraagde formule.

Ik denk dat je in de tweede formule een typfoutje hebt gemaakt en dat die moet zijn:

cos²(A) + cos²(B) - cos²(C) = 1 - 2sin(A)sin(B)cos(C)

Op soortgelijke wijze als hierboven kun je allereerst afleiden uit
cos(A+B+C)=-1 dat

cos(A)cos(B)cos(C)-cos(A)sin(B)sin(C)-sin(A)cos(B)sin(C)-sin(A)sin(B)cos(C) = -1

zodat

2 - 2sin(A)sin(B)cos(C) =
2cos(A)sin(B)sin(C) + 2sin(A)cos(B)sin(C) - 2cos(A)cos(B)cos(C)

en dus

1 - 2sin(A)sin(B)cos(C) =
2cos(A)sin(B)sin(C) + 2sin(A)cos(B)sin(C) - 2cos(A)cos(B)cos(C) - 1 .....[3]

Aan de andere kant geldt dat

cos²(A) = -cos(A)cos(-A) =
-cos(A)cos(B+C) =
-cos(A)cos(B)cos(C) + cos(A)sin(B)sin(C),

en evenzo

cos²(B) = -cos(A)cos(B)cos(C) + sin(A)cos(B)sin(C),

terwijl

-cos²(C) = -1 + sin²(C) =
-1 + sin(-C)sin(C) =
-1 + sin(A+B)sin(C) =
-1 + cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C).

Optelling van deze drie resultaten geeft precies

cos²(A)+cos²(B) - cos²(C) =
2cos(A)sin(B)sin(C) + 2sin(A)cos(B)sin(C) - 2cos(A)cos(B)cos(C) - 1 .....[4]

Combinatie van [3] en [4] geeft de (gewijzigde) tweede formule.

FvL
2-12-2002