WisFaq!

Bewijs dat LU-decompositie niet gaat op matrix A

Hoi,

Mijn vraag is hoe ik bewijs dat LU-decompositie niet gaat op matrix A:

A = [ 1 2 0
2 4 2
1 6 1 ]

Nu moet ik aantonen dat er geen L (lower triangle matrix) en U (upper triangle matrix) is zodat A = LU.

Nu wordt er op internet het volgende gezegd:

An invertible matrix admits an LU factorization if and only if all its leading principal minors are non-zero.

Maar ik heb geen idee wat 'leading principal minors' zijn. En is dit de juiste manier voor het bewijzen hiervan? Mijn gevoel zegt dat L U decompositie niet mogelijk is vanwege de nul rechtsboven. Deze krijg je onmogelijk weg als je de regels van decompositie volgt. En dus krijg je nooit een U-matrix waarbij alleen nullen onder de diagonaal mogen staan. Maar hoe bewijs je dit?

Dus ik wil graag weten wat 'leading principal minors' zijn en wat dit is bij deze matrix en hoe ik moet bewijzen dat LU-decompositie niet mogelijk is.

Ik hoop dat jullie me een beetje op weg kunnen helpen.

groetjes,

Roland

Roland
30-10-2008

Antwoord

Een 'minor' is wat wij een onderdeterminant noemen.
Als je in jouw matrix een willekeurig getal neemt, dan moet je eens de rij en de kolom waarin dat getal staat, wegstrepen. Wat overblijft is dan een 2x2-matrix en die heeft een determinantwaarde.
Bijvoorbeeld: neem eens het getal 2 dat op de bovenste rij staat. Streep nu (verticaal) de middelste kolom en (horizontaal) de bovenste rij weg.
Je houdt nu de matrix
[2 2]
[1 1]

over met determinant 2x1-2x1 = 0 .
De 'leading principal minors' krijg je als je deze procedure toepast op de elementen van de hoofddiagonaal, dus op de getallen 1, 4 en nogmaals 1.
Als je de wegstreepprocedure toepast op de 1 rechtsonder, dan hou je een matrix over met determinant 0 en volgens hetgeen je schrijft is de
LU-decompositie dan (blijkbaar) onmogelijk. Nog wel even vaststellen dat je matrix inverteerbaar is, natuurlijk!
Gelukkig vraag je slechts om 'een beetje' op weg geholpen te worden, want mijn bekendheid met deze LU-decompositie was voor het stellen van je vraag afwezig.

MBL

MBL
30-10-2008