WisFaq!

Termen lineaire algebra

Beste wiskundige,

ik heb een aantal vragen over de gebruikte termen van lineaire algebra:

Rang
De rang is het aantal niet-nulrijen van een matrix in rref. De rang is het aantal pivotkolommen(leading entries). Het is de dimensie van de rij en kolom ruimte.

De nullity(nulheid) is de dimensie van de nulruimte, welke gelijk is aan het aantal vrije variabele in rref

Een basis voor een deelruimte is een set vectoren in de deelruimte die de deelruimte opspannen en lineair onafhankelijk zijn.

De rij-ruimte van matrix A is hetzelfde als de rij-ruimte van de gereduceerde matrix R. Dus row(A) = row(R). rijbewerkingen veranderen de rij-ruimte niet.

De kolom-ruimte van matrix A is NIET hetzelfde als de kolom-ruimte van de gereduceerde matrix R. Dus Row(A)is niet Row(R)

De rang en de nullity opgeteld zijn samen het aantal kolommen


Nu is mijn vraag, klopt het bovenstaande wat ik allemaal schreef? Ik vind het begin namelijk een beetje vreemd, dat de rang het aantal niet-nulrijen is of het aantal pivotkolommen...... is dat dan altijd gelijk?

Mitchell
27-10-2008

Antwoord

Het meeste klopt inderdaad, behalve de voorlaatste over de kolomruimte. Je kunt beter zeggen dat de kolomruimte van A niet noodzakelijk gelijk is aan die van R want er zijn natuurlijk randgevallen, als A=R, waarin die ruimten wel gelijk zijn. En verder geef je de kolomruimte aan met Col.
Wat je vraag betreft: ik zou zeggen dat het niet vreemd is dat die twee aantallen gelijk zijn, maar juist heel mooi. En inderdaad, het is een stelling dat die twee altijd gelijk zijn; het bewijs volgt door naar de rref te kijken: elke rij in die vorm bevat precies één pivot.

kphart
28-10-2008