WisFaq!

Differentiaalvergelijking van een worp met luchtweerstand

Een voorwerp met een massa van 1 kg wordt met beginsnelheid u verticaal omhoog geworpen. De luchtweestand wordt gegeven door kv², waarbij v de snelheid voorstelt. Toon aan dat de maximaal bereikbare hoogte gegeven wordt door w²/2gln(1+u²/w²), waarbij w²=g/k.
Wat is de physische betekenis van w?
Toon bovendien aan dat de snelheid u' van het voorwerp bij terugkomst op zijn uitgangspunt gegeven wordt door 1/(u')²=1/u²+1/w².
Mijn poging: Het eerste deel is bewerkelijk maar levert het vereiste resultaat op. Voor het tweede deel loste ik de DV v'=g-kv²2 op met RVWD v=0 als t=0; resultaat
v(t) = w[(e²kwt - 1)/(e²kwt + 1)]. Integreren van deze uitdrukking, onder gebruikmaking van de in het eerste onderdeel gevonden maximale worphoogte levert een uitdrukking voor de valtijd van die maximale hoogte naar de grond. Tezamen met de uitdrukking voor v(t) levert dit op dat u'= -u, d.w.z. de snelheid waarmee het voorwerp wordt opgegooid is bij terugkomst op de grond gelijk doch tegengesteld aan de beginsnelheid, IN AFWIJKING van hetgeen gevraagd wordt. Tot op heden kan ik de fout in mijn berekeningen niet vinden. Gaarne help of een hint.
De physische betekenis van w volgt pas in het tweede deel. Het is namelijk de maximaal haalbare snelheid als t®¥gaat.

M. Wielders
23-10-2008

Antwoord

De differentiaalvergelijking is niet voor beide delen van de worp dezelfde. Met x (en v) positief naar boven, geldt voor het stijgende deel:

dv/dt = - g - kv²

Voor het dalende deel:

dv/dt = - g + kv²

Hier haal je trouwens onmiddelijk de fysische betekenis uit: in de veronderstelling dat v een limiet v(oo) bereikt, staat er dan 0 = - g + k v²(oo).

Lukt het zo?

cl
25-10-2008