WisFaq!

De Riemann-Lebesgue lemma

Hallo,

Ik wil graag bewijzen dat

int[sin(x)/x]dx=pi/2, integraal van 0 tot oneindig.

Ik heb de volgende aanwijzingen gekregen maar het lukt mij niet om een bewijs te geven.

1.De integraal van -pi tot pi van de Dirichletkern

D_N(x)=som[e^(i*n*x)]=sin((N+(1/2))*x)/sin(x/2) (som van _N tot N)

is gelijk aan

int[D_N(x)]=2*pi


2.[1/sin(y/2)]-2/y is continu.

3. Pas de Riemann-Lebesgue lemma toe:
Als f (Riemann) integreerbaar is op [0,2*pi] dan

a_n - 0 als |n|-oneindig.

a_n de Fouriercoefficienten van f.

Groeten,

Viky

viky
21-10-2008

Antwoord

Neem je functie f(y)=[1/sin(y/2)]-2/y. Het product sin((N+1/2)y)*f(y) is gelijk aan D_n(y)-2/y*sin((N+1/2)y).
Het Riemann-Lebesgue lemma impliceert dat de limiet voor N naar oneindig van de integraal int(sin((N+1/2)y)*f(y), y=-Pi..Pi) nul is; met andere woorden 2Pi-lim(int(2/y*sin((N+1/2)y),y=-Pi..Pi))=0. Substitueer nu x=(N+1/2)y in de integraal; je krijg dan int(2/x*sin(x),x=-(N+1/2)Pi..(N+1/2)Pi) en dat is 4*int(sin(x)/x,x=0..(N+1/2)*Pi). De limiet is viier maal je integraal en gelijk aan 2*Pi.

kphart
22-10-2008