WisFaq!

Homografische functies

Hey, ik heb een probleem met de volgende oefening :
"Bepaal het voorschrift van een homografische functie met pool 5, nulpunt -1 en waarvan de grafiek door het punt (4,10) gaat."

Ik heb begonnen met deze basisformule : ax+b/x+C en ik heb C direct vervangen door -5. Nu weet ik echter niet goed meer hoe het verder gaat. Ik heb het koppel (4,10) in de vergelijking gestoken, evenals het koppel (-1,0) maar het lijkt maar niet te kloppen.

Zouden jullie mij eveneensop weg willen helpen met het bepalen van de asymptoten bij de vgl : (2x²+x+3)/(x²+3x) ?

Alvast bedankt !

Thomas
30-11-2002

Antwoord

Je hebt blijkbaar al
f(x) = (ax + b) /(x - 5)
x = -1 is nulpunt. Dat houdt in dat de teller gelijk aan 0 is voor x = -1.
Gevolg: -a + b = 0, of
a = b
Zodat:
f(x) = (ax + a)/(x - 5)
f(4) = 10 geeft nu de vergelijking
(4a + a) / (4 - 5) = 10
waaruit volgt 5a = -10; a = -2
De gevraagde functie is dan f(x) = (-2x - 2) / (x - 5).

De horizontale asymptoot (evt -toten) wordt bepaald voor 'erg' grote waarden van x.
We kunnen dan schrijven (met ~ in de betekenis 'is voor grote x gelijk aan'):
(2x²+x+3)/(x²+3x) ~ (2x²+x)/(x²+3x) (die 3 in de teller heeft geen invloed)
en dan na deling door x:
(2x+1)/(x+3) ~ (2x)/(x) (die 1 in de teller en de 3 in de noemer hebben geen invloed)
zodat (weer na deling door x):
de horizontale asymptoot is y = 2.
Sneller (?) en iets wiskundiger:
Deel teller en noemer door x² en weet dat 1/x en 1/x² beide 'voor grote x' gelijk zijn aan 0:

lim(x$\to$ $\infty$) 1/x = 0 en lim(x$\to$ $\infty$) 1/x²=0.

En het snelst:
Als de graad van de teller gelijk is aan die van de noemer, dan deel je de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm van de teller door die van de noemer...

De verticale asymptoten worden gevonden als nulpunten van de noemer (polen).
x²+3x = 0 geeft in factoren x(x+3) = 0, met x = 0 of x = -3.
Beide x-en zijn geen nulpunt van de teller, zodat de verticale asymptoten zijn:
x = 0, x = -3

dk
30-11-2002