WisFaq!

Afleiding formule bolsegment

Hoe kan men het volume van een bolsegment ( met een lengte van vb h) bepalen? Met andere woorden hoe kom ik aan de formule 1/3 pi h² ( 3 r - h) waarin r de straal is van de bol?

Joris
29-11-2002

Antwoord

Door het volume te bepalen van het omwentelingslichaam van een halve cirkel.

Het functievoorschrift van een halve cirkel (straal r) luidt:
y(x)=(r²-x²)

Stel een bolsegment heeft een dikte h, dan is
0h2r

Om een bolsegment met dikte h te berekenen, lopen de integratiegrenzen dus van x=r-h naar x=r

V= .òy²dx
= .ò(r²-x²)dx
= .[r²x-¹/₃x³]
= .{r³-¹/₃r³-r²(r-h)+¹/₃(r-h)³}
= .{r³-¹/₃r³-r³+r²h+¹/₃(r³-3r²h+3rh²-h³)}
= .{rh²-¹/₃h³}
=¹/₃ h²(3r-h)

groeten,
martijn

mg
30-11-2002