WisFaq!

Formule van Euler

Ik zoek het bewijs van de formule van Euler, maar als ik daarnaar zoek, krijg ik alleen maar zijn formule over convexe veelvlakken. Maar ik zoek het bewijs van e^ip+1=0

Ik weet al dat het een speciaal geval is van e^iq=cosq+isinq. Als q=p, dan komt er aan de ene kant -1 uit, maar waarom zou e^ip ook -1 zijn?
Alvast bedankt

marco
29-9-2008

Antwoord

Als je z=cosj+isinj opvat als een functie van j dan kan je schrijven:
f(j)=cosj+isinj
Als je dan naar de afgeleide kijkt gebeurt er iets bijzonders:
f'(j)=-sinj+icosj=i(cosj+isinj)=i·f(j)

Nu ken ik eigenlijk maar één functie waarvan de afgeleide (vrijwel) gelijk is aan de functie. De afgeleide van: g(j)=e^ij is g'(j)=ie^ij
Dus geldt: e^ij=cosj+isinj

De identiteit van Euler is dan niets anders dan de formule van Euler met j=p:

      e^ip+1=0

En dat is wel mooi, inderdaad...
bron: Complexe getallen VWO wiskunde B - Frits Spijkers - 2001

Op Wat is e en ln(x)? kan je nog 't een en ander vinden omtrent e.

WvR
30-9-2008