WisFaq!

Lineaire of niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Bij het vak wiskunde en systeemanalyse (met als boek "an introduction to ordinairy differential equations door James C. Robinson) moeten we lineaire en niet lineaire differentiaalvergelijkingen kunnen herkennen. Men geeft ons de algemene formule:
An(t) · Y^N +...+ A2(t) · Y" + A1(t)· Y' + A0 (t) · Y = F(t)
Met ^N betekenent De zoveelste afgeleide ergens van.

Ik snap het principe dat je de afgeleide niet met een functie van y mag vermenigvuldigen maar heeft u misschien een simpelere uitleg voor mij?

Met vriendelijke groet Anne Bernts

anne bernts
29-9-2008

Antwoord

dag Anne,

Ik vrees dat ik het niet echt simpeler kan uitleggen, maar misschien denk je er te ingewikkeld over.
Ik zal het met een concreet voorbeeld proberen te verduidelijken.
3·y'' + t·y' + sin(t)·y = 5t
is een lineaire dv.

De kracht van de lineariteit zit hem in het volgende:
Bekijk eerst even de bijbehorende homogene dv:
3·y'' + t·y' + sin(t)·y = 0
Stel dat je hiervan twee verschillende oplossingen hebt: y₁ en y₂.
Dat betekent: als ik y₁ of y₂ invul in het linkerlid van de dv, dan komt er (in beide gevallen) 0 uit.
Vul nu eens y₁ + y₂ in.
Zie je dat er dan ook 0 uitkomt?
Dat is te danken aan het feit dat in de oorspronkelijke dv de afhankelijke variabele y alleen eventueel met 'iets met t' vermenigvuldigd wordt, en niet met y zelf.
In het algemeen geldt:
a·y₁ + b·y₂ levert ook 0 op na invulling.
Dat is de kern van de lineariteit.
Hopelijk ben je hiermee geholpen.
groet,

Anneke
30-9-2008