WisFaq!

Lengte van een kabel

Beste mensen,
Als mede-beantwoorder kwam ik onlangs in Frankrijk en zag daar de electriciteits kabels hangen en vroeg mij onderstaand vraagstuk af. Helaas kon ik zelf niet op het antwoord komen en vroeg mij dus af of iemand van jullie het wel weet.
De kabels hangen op een gelijke afstand, gelijke hoogte en hebben tevens een gelijke lengte. Veronderstel dat deze dan ook bekend zijn. Nu breekt een van de palen en de kabel neemt dus in lengte met een factor 2 toe.
De vraag is nu echter hoeveel komt de kabel nu dichter bij de grond?

Alvast bedankt voor reacties.

M.v.g.
P.H.S.

PHS
29-11-2002

Antwoord

Hoi,

Dit is variatie op een klassieker: de kettinglijn ('catenary' in het Engels). Je kan afleiden dat y=c.ch(x/c+c₁)+c₂ (met behulp van differentiaalvergelijkingen). Die c’s zijn integratie constanten.

Als de palen een afstand 2D van elkaar liggen, kunnen we stellen dat y(-D)=y(D)=0. We kiezen een Y-as die naar boven wijst. De maximale doorbuiging hebben we dan bij x=0 (een negatieve y-waarde). Hieruit halen we dat c₁=0, c₂= -c.ch(D/c) en c>0, zodat y=c.ch(x/c)-c.ch(D/c). De maximale doorbuiging is dus z=c-c.ch(D/c).

We kennen ook de lengte L=int(sqrt(1+y'),x=-D..D). Met y'=sh(x/c) en ch²(x)-sh²(x)=1 hebben we dus L=int(ch(x/c),x=-D..D)=2c.sh(D/c). c kan dus bepaald worden uit L=2c.sh(D/c). We hebben uiteraard L>2D.
Als we a=L/2D (praktisch moet L>2D omdat een kabel altijd doorhangt) en t=D/c nemen dan moeten we a.t=sh(t) met a>1 oplossen voor t>1. Je gaat makkelijk na dat er zo steeds één oplossing is. We kunnen dus eenduidig c bepalen. We kunnen trouwens D elimineren: sh(D/c)=L/2c zodat ch(D/c)=sqrt(1+(L/2c)²) en z=c-c.sqrt(1+(L/2c)²)= en dus z=c-sqrt(c²+L²/4).

Als een paal tussen twee stukken wegvalt, heb je dus een afstand van 4D ipv 2D en een lengte van 2L ipv L.
We hebben dus een maximale doorbuiging z’= c’-sqrt(c’²+L²) waarbij c’ de oplossing is van L=c’.sh(2D/c’).

Als je L en D kent, kan je (numerisch) c en c’ berekenen en dus ook z’-z....

Groetjes,
Johan

andros
3-12-2002