WisFaq!

Parabool en rechthoekige driehoek

Gegeven is een willekeurige parabool met top O en brandpunt F. Het punt A ligt op de symmetrieas zodanig dat F het midden is van het lijnstuk [OA]. Als we door A een rechte a trekken, niet evenwijdig met de symmetrieas, heeft deze snijpunten met de parabool. Deze punten noemen we B en C. De rechte evenwijdig met de symmetrieas door het midden van [BC] snijdt de topraaklijn. Dit punt noemen we D.
Driehoek ABD zou nu rechthoekig moeten zijn. Door dit met GeoGebra voor te stellen, wordt dit duidelijk, maar hoe kan je deze eigenschap aantonen?
Ik denk dat je gebruik kan maken van het feit dat het product van de rico's -1 moet zijn, maar ik slaag er niet in om de vergelijking van de noodzakelijke rechten op te stellen...

Kan iemand me aub helpen?
Dank bij voorbaat!

Brent
11-9-2008

Antwoord

Als je F(0,p) noemt dan is A=(0,2p). De parabool heeft dan vergelijking y=x²/(4p).
BC heeft dan als vergelijking y=mx+2p.
Snijden van de parabool en BC levert de vergelijking x²/4p=mx+2p, dus
x²-4pmx=8p²
Kwadraat afsplitsen levert
x²-4pmx+4p²m²=4p²m²+8p²
(x-2pm)²=4p²(m²+2), dus
x-2pm=±2pÖ(m²+2)
x=2pm±2pÖ(m²+2)

Dus D=(2pm,0)
De richtingscoefficient van AD is dan -2p/(2pm)=-1/m, en m·(-1/m)=-1.

hk
11-9-2008