WisFaq!

Vierdegraads vergelijking oplossen

Hoe los je de vergelijking 5x⁴+10x³+10x²+5x+1=0 op?
Er is geen punt dat je zo al in kan vullen (bijvoorbeeld x=0 of x=1 o.i.d).

Tom
8-9-2008

Antwoord

De coëfficiënten zouden je moeten doen denken aan de binomiaalcoëfficiënten. Dit levert dan meteen de observatie op dat 0 = 5x⁴+10x³+10x²+5x+1 = (x+1)⁵-x⁵, dus (x+1)⁵ = x⁵. Bijgevolg is x+1 = xw, met w een complex getal verschillend van 1 zo dat w⁵ = 1. (Zo zijn er 4) Er volgt dat x = 1/(w-1). De vier w die we zoeken zijn de getallen cos(kp/5)+i*sin(kp/5) voor k = 1, 2, 3, 4.
De oplossingen zijn dus x = 1/(cos(kp/5)+i*sin(kp/5)-1) voor k = 1, 2, 3, 4.

cd
8-9-2008