WisFaq!

Gedrag van een functie als afgeleide groter is dan M

Ik ben mijn basiskennis Calculus aan het opfrissen op de Griekse Open Universiteit en kom deze vraag tegen, waar ik geen blijf mee weet. Alle hulp is welkom.
Gegeven is een functie f met domein [0,1]. Er geldt dat [f'(x)=M0]. Nu moet ik aantonen dat er een interval I bestaat met lengte 1/4, zodanig dat [|f(x)|=M/4], voor alle x in I.

ritavita
4-9-2008

Antwoord

Probeer het je voor te stellen: de functie f heeft overal afgeleide groter dan M, wat een positief getal is. Dus de functie stijgt in elk punt sterker dan de rechte met richtingscoëfficiënt M.

Je kan het met die meetkundige intuïtie oplossen: als je de functie tekent in het (x,y)-vlak dan is het van belang te zien voor welke x er geldt dat |f(x)|M/4, dus -M/4f(x)M/4. Je functie is strikt stijgend, dus de x-waarden waarvoor -M/4f(x)M/4 geldt liggen in een interval (kan leeg zijn). Echter, dat interval heeft maximum lengte 1/2. Waarom? Wel, de rechte met rico M heeft een interval van lengte 1/2 nodig om van -M/4 naar M/4 te gaan, dus je functie (die sneller stijgt) heeft maximum een interval van lengte 1/2 nodig.

En als je een interval met lengte maximum 1/2 schrapt uit het interval [0,1] dan blijft er links of rechts (of allebei) een interval over met lengte minstens 1/4

Als je het 'strikter' wil opschrijven (en aangezien het over calculus gaat zou dat wel eens kunnen) zou ik aanraden de volgende gevallen te onderscheiden:
* f(1/4) = -M/4, toon aan dat je I=[0,1/4] kan kiezen.
* -M/4 f(1/4), toon aan dat f(3/4) M/4 en dat je dus I=[3/4,1] kan kiezen. Gebruik hiervoor dat g(x)=f(x)-Mx een stijgende functie is (want positieve afgeleide) en dus dat g(3/4)g(1/4).

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-9-2008