WisFaq!

Oplossen differentiaalvergelijking

Hallo,

Ik moet de volgende differentiaalvergelijking voor x(t)oplossen:

d²x/dt²+25x=0

Ik heb hierbij de volgende beginvoorwaarden:
x=5 als t=0
dx/dt=5 als t=¹/₄p

Ik weet niet hoe ik deze moet oplossen aangezien ik waarschijnlijk op de één of andere manier aan dx/dt moet komen op t=0? Of is er ook een andere manier?

Tine Arts
5-8-2008

Antwoord

Dag Tine,

Vergeet eerst even de beginvoorwaarden (of beter, randvoorwaarden want je tweede voorwaarde gaat niet over het begin t=0, maar wel over het tijdstip t=p/4).

De differentiaalvergelijking d²x/dt²+25x=0 kan je allicht wel oplossen, eventueel met behulp van de karakteristieke vergelijking of zelfs op het zicht kan je komen tot
x(t) = A cos(5t) + B sin(5t)
met A en B constanten.

Die constanten A en B kan je nu bepalen aan de hand van de gegeven voorwaarden. De eerste is makkelijk: vul t=0 in in de oplossing en je krijgt
x(0) = 5 = A cos(5*0) + B sin(5*0), werk uit.

De tweede voorwaarde bevat dx/dt, dus moet je eerst dx/dt bepalen, dat doe je door x(t) = A cos(5t) + B sin(5t) af te leiden. In de uitdrukking die je dan bekomt, vul je t=p/4 in, je krijgt
dx/dt(p/4) = 5 = -5A sin(5*p/4) + 5B cos(5*p/4)

Deze twee vergelijkingen in A en B geven je één unieke oplossing voor A en B. En dus heb je de functie x(t) volledig bepaald.

Groeten,
Christophe.

Christophe
5-8-2008