WisFaq!

Re: Re: Re: Convergerende of divergerende integraal

Hallo,

Dus als ik het goed begrijp kun je concluderen dat de integraal ò(cos(x²+1))/x² dx convergeert bij ¥ en -¥, maar divergeert rond de oorsprong?

En ik snap ook niet helemaal waarom de integraal van 1/x² met x van c tot +¥ convergeert voor c0, maar divergeert als c=0? Kun je dat bewijzen of laten zien?

Alvast bedankt

Tine Arts
3-8-2008

Antwoord

Beste Tine,

Een integraal over een zeker interval kan convergeren of divergeren. Wat ik bedoelde met "geen probleem op ¥" is dat de integraal van een positief reëel getal tot +¥ (of van -¥ tot een negatief reëel getal) wel zal convergeren. Het feit dat de integraal van -¥ tot +¥ toch divergeert, komt door de oorsprong.

Om dat aan te tonen kan je de vergelijkingstest gebruiken op een interval rond de oorsprong. Als je een divergente minorante kan vinden (zoals 1/(2x²) op een voldoende klein interval rond de oorsprong), dan weet je dat de oorspronkelijke integraal er ook divergeert.

Voor de convergentie/divergentie van 1/(2x²) kan je toch gewoon de (oneigenlijke) integraal berekenen? Vervang de singulariteit door een variabele en neem de limiet; van de functie kan je eenvoudig een primitieve vinden dus gewoon integreren...

mvg,
Tom

td
3-8-2008