WisFaq!

Re: Convergentie met arctan in teller

Van de arctan weet ik helaas niets. Ik had er voor dit weekend nog nooit van gehoord. Enige dat ik weet is dat het de inverse is van tan x wanneer het domein beperkt wordt to -pi/2, pi/2. Dat zal wel met begrenzen te maken waaraan u refereert. Als u een goede link heeft over dit onderwerp, graag! Ik heb hier niet genoeg basiskennis over.

Dat blijkt ook wel uit b). Ik dacht de cosx altijd tussen 1 en -1 ligt. Of bedoel je soms dat ik het zo moet doen:
1/n gaat naar 0. Dus cos(0) = 1. Limiet is 1. Moet het zo?

Wat is de verhoudingstest?
¥
å a_n+ 1 / a_n?
n=0

Dat is 0. Is kleiner dan 1 dus convergent.

Ben ik zo op de goede weg?

Alvast bedankt.

Barry Dogger
2-8-2008

Antwoord

a) Als je de grafiek kent van tan(x) dan ken je ook die van arctan(x) (gebruik desnoods je GZRM of het internet om je even op weg te helpen). arctan(n) zal steeds kleiner zijn dan Pi/2. 1/(n(n+1)) is op zich nog eens kleiner dan 1/n² en die laatste geeft aanleiding tot een reeks die convergeert.

b) Gebruik maken dat cos altijd tussen -1 en +1 ligt, gebruik je meestal als die in de teller staat, met in die noemer iets dat de breuk voldoende omlaag trekt om convergentie te bewerkstelligen. Hier kom je met die eigenschap niks vooruit. Getallen die tussen -1 en +1 liggen optellen, dat kan een reeks zijn die convergeert maar evenzeer een die niet convergeert. Zoals je inderdaad zelf aangeeft gaan de termen naar 1. Convergentie is dus onmogelijk.

c) Een verzameling testen staat hier: http://math2.org/math/expansion/tests.htm Ik acht de kans trouwens vrij klein dat je deze opgave krijgt en toch geen minimum aantal convergentietesten hebt gezien.

cl
2-8-2008