WisFaq!

Convergerende of divergerende series

Hallo,

Van deze serie: å(Ön)/(n²-sin²99n) van n=1 tot ¥, moet ik bepalen of hij convergeert of niet. Ik wilde hierbij de ratio test for power series gebruiken en in zowel de teller als de noemer de sinus-uitdrukking verwaarlozen omdat deze erg klein is in vergelijking met de andere termen. Maar dat mag blijkbaar niet. Nu weet ik niet hoe deze som dan moet oplossen.

Alvast bedankt

Tine Arts
1-8-2008

Antwoord

Dag Tine,

Je intuïtie is in elk geval juist: om te oordelen over de convergentie van een reekssom zijn de termen op oneindig (dus voor grote n) cruciaal, en vermits de sin² altijd tussen 0 en 1 ligt is dit verwaarloosbaar t.o.v. de n² die ook in de noemer staat.

Je kan het op meerdere manieren oplossen, een manier gaat als volgt. Toon aan dat n² n² - sin²(99n) n²/2 voor n groot genoeg, gebruik makend van die sin²-afschatting. Eender welke andere fractie tussen 0 en 1 werkt ook. Dan breng je die 1/2 voorop, en je houdt de som van n^(-3/2) over, een reeks waarvan de convergentie gekend is (of aantoonbaar met de ratiotest bv).

Dus die sinus verwaarlozen mag wel, maar je moet dan wel goed verantwoorden wat je doet, en waarom je het mag doen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-8-2008