WisFaq!

Beweringen over functie

Hallo, ik heb een vraagje over de volgende gegeven functie. Er worden hier 4 beweringen over gegeven en een ervan zou niet juist zijn.

f(x) = ax³-bx²-4ax+4bc met a¹0

...bewering 1:
als a=2 en c=1 dan heeft de functie b/2 als nulpunt...
Dit heb ik simpel bewezen door a en c in te vullen
2x³-bx²-8x+4b=0
met f(b/2)=2(b/2)³-b(b/2)²-8(b/2)+4b=0
geeft = 2b³/8-b(b²/2)-8b/2+4b=0
geeft = 1b³/4-b³/4-4b+4b= inderdaad 0
Dus deze bewering lijkt mij te kloppen

...bewering 2:
als b=0 dan heeft de functie 3 nulpunten
...
dit zou dan de formule ax³-4ax geven
alleen indien a¹0 want dan is de gehele functie 0
Dus alleen op de voorwaarde a¹0 klopt deze bewering ook wel

...bewering 3:
heeft in bepaalde gevallen slechts 2 nulpunten
...
ax³-bx²-4ax+4bc
bijvoorbeeld als a=0,5 b=c=1
dan vinden we twee nulpunten bij x=-2 en x=2
Dus ook deze bewering lijkt te kloppen

...bewering 4:
heeft altijd minstens 1 nulpunt...
Dat is zeker waar, dat kan gewoon niet anders.
Dus deze klopt sowieso

Dan is dus nu de vraag welke van deze 4 beweringen moet dan fout zijn?
Volgens de antwoorden die ik zo via via heb gekregen is bewering 3 fout. Maar met willekeurig geprobeerde getallen (die mijn voorbeeld) klopt deze wel.
Is dan bewering 2 fout? Ik heb daar welf de voorwaarde bij gegeven dat a geen nul mag zijn, maar dat wordt niet in de bewering genoemd. Klopt deze dan niet?

Hartelijk dank voor uw moeite!

mvg,

Lien

Lien
15-7-2008

Antwoord

Dag Lien,
Bewering 1 :heb je keurig aangetoond.

Bewering 2:Als a en b allebei 0 zijn is de functie inderdaad altijd 0, maar als a geen 0 is klopt het: ax³-4ax=0 geeft dan: x³=4x.
Dat klopt als x=0, als x=2 en als x=-2.Drie nulpunten.

Bewering 3:Ook dat heb je goed aangetoond, hoewel er natuurlijk nog veel meer mogelijkheden zijn, maar dat wordt niet gevraagd.

Bewering 4: Jouw bewijs "dat kan gewoon niet anders" is dacht ik niet erg wiskundeig.
Probeer het tegenvoorbeeld te bewijzen: Zoek een voorbeeld zonder 0-punten.
Een derdegraads vergelijking heeft altijd nul-punten, dus a moet 0 zijn.In je beschijving zeg je dat a geen 0 mag zijn, dan is de bewering inderdaad waar.
MAar, als je dat zelf hebt toegevoegd...
Als a wel 0 is heb je een tweedegraads vergelijking, die zoals je wel zal weten soms geen nul-punten heeft! Zoek maar een voorbeeld en het bewijs is klaar.
Succes, Lieke.

ldr
15-7-2008