WisFaq!

Bewijzen cosinus

Hallo,
ik had laatst een toets en daar was een bewijsvraag waar ik niet uit kwam. Ik ga hem waarschijnlijk herkansen dus zou het wel handig zij nals ik er uit kwam.

De vraag was:
Bewijs: cos²t = ¹/₂ + ¹/₂ cos2t.

De vraag daarna was:
Bewijs met de vorige opdracht dat cos⁴t = ³/₉ + ¹/₂ cos2t + ¹/₈ cos4t

Heel erg bedankt alvast

Eddy

Eddy Robinson
27-6-2008

Antwoord

Eddy,

Om cos²t = 1/2 + 1/2 cos(2t) aan te tonen ga ik twee standaard goniometrische formules gebruiken:
(1) sin²x + cos²x = 1
(2) cos(x+y) = cosx*cosy - sinx * siny
Deze formules staan in vrijwel elk formuleboekje en op de meeste formulekaarten, daarom ga ik ervan uit dat je deze mag gebruiken. Mocht dat niet zo zijn, dan kan je reageren op dit antwoord en dan zal ik die formules ook voor je aantonen.

Wanneer je bij (2) t invult voor y en x, krijg je:
cos(2t) = cos²(t) - sin²(t)
Dit lijkt heel erg op (1), dus daar gaan we naartoe werken door "+cos²(t)-cos²(t)" toe te voegen. Dit mag omdat dat natuurlijk hetzelfde is als "+0" toevoegen. Dan krijgen we:
cos(2t)=cos²(t)+ cos²(t)- cos²(t)- sin²(t)=2cos²(t)- 1(cos²(t)+ sin²(t))
Volgens (1) staat hier dus:
cos(2t) = 2cos²(t) - 1
Hieruit volgt:
2cos²(t) = 1 + cos(2t)
Dus:
cos²(t) = 1/2 + 1/2 cos(2t)

Dan nu nog het tweede deel van je vraag:
Ik denk dat je daar een typefoutje hebt gemaakt. cos⁴t is namenlijk gelijk aan 3/8 + 1/2cos(2t) + 1/8cos(4t). Dit krijg je door 1/2 + 1/2cos(2t) te kwadrateren.

Ik hoop dat het zo duidelijk is, mocht je nog vragen hebben dan kan je gewoon reageren op deze vraag.

Mvg.
David

DvdB
27-6-2008