WisFaq!

Integreren van een machtreeks

beste wisfaq,
ik wil 1/(1+x⁷) uitdrukken als een som van een machtreeks.
1/(1+x⁷)= 1/(1-(-x⁷))=$\sum$(-x⁷)ⁿ=$\sum$(-1)ⁿ · x^(7n).
ik het boek (calculus) wordt de methode term-voor-term integreren toegepast, waarbij het antwoord is:
$\int{}$$\sum$](-1)ⁿ · x^(7n)dx=$\sum$(-1)ⁿ·{(x^(7n+1))/(7n+1)

zoals ik de methode begrijp moet ik dus elke afzonderlijk term integreren. ik doe het volgende:
$\int{}$(-1)ⁿ dx=(-1)ⁿ·x+C
en
$\int{}$x^(7n)dx=(1/(7n+1))·x^(7n+1)+C
resultaten bij elkaar toevoegen levert:
((-1)ⁿ)·x·{nx^(7n+1)}/{70+1}+C

ik heb dus een x te veel....

kunt u me uitleggen waar mijn (denk)fout zit?

alvast bedankt!!

mvg,

Carlos

carlos
23-6-2008

Antwoord

Veronderstel dat je 3x² op jouw manier zou integreren:
$\int{}$3dx=3x
$\int{}$x²dx=¹/₃x³
Samen nemen levert dan 3x·¹/₃x³=x⁴, je hebt dan ook 'een x teveel'

In mijn voorbeeld is die 3 een constante, in jouw vraag is die (-1)ⁿ een constante.
Als c een constante is dan is $\int{}$c·f(x)dx=c·$\int{}$f(x)dx en niet cx·$\int{}$f(x)dx, zoals jij doet.

hk
23-6-2008