WisFaq!

Bewijs met volledige inductie

Hallo, hoe bewijs je volgende formule door middel van inductie? 1/1·2+1/2·3+1/3·4+...1/(n-1)·n+1/n·(n+1)=n/(n+1) Bedankt

Bram
8-6-2008

Antwoord

Merk op dat 1/(k·(k+1)) = 1/k - 1/(k+1) voor alle k 0. Je zou dus eigenlijk al meteen kunnen zeggen dat

1/2 + 1/6 + 1/12 + ... + 1/(n·(n+1))
= (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-1)-1/n)+(1/n-1/(n+1))
= 1+0+0+...+0-1/(n+1) = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1).

Het is natuurlijk niet meer zo lastig het argument per volledige inductie te geven: als de formule klopt voor een zekere k0, dan zal de som voor k+1 gelijk zijn aan k/(k+1) + 1/((k+1)·(k+2)) = 1 - 1/(k+1) + 1/(k+1) - 1/(k+2) = 1-1/(k+2) = (k+1)/(k+2).

cd
8-6-2008