WisFaq!

Kortste afstand tussen twee parabolen

Hoe kan je de kortste afstand (niet verticaal of horizontaal) maar de absolute kortste afstand tussen parabolen bepalen?

Thomas
3-6-2008

Antwoord

Je bepaalt de afstand tussen een (algemeen) punt op de ene kromme en een (algemeen) punt op de andere kromme. Voor dat algemeen punt kan een parametervergelijking handig zijn, maar als het krommen zijn met een voorstelling van de vorm y=f(x), dan is die vorm ook heel geschikt.

Laat ik even die laatste weg inslaan en veronderstellen dat de twee krommen worden voorgesteld door y=g(x) en y=h(x). Een algemeen punt P op de eerste kromme is dan (a,f(a)), een algemeen punt Q op de tweede (b,g(b)).

Om wortels te vermijden kan je evengoed het kwadraat van de afstand proberen maximaliseren, dus (a-b)^2 + (f(a)-g(b))^2. Die moet minimaal zijn, zowel als a varieert als als b varieert. Een keer afleiden naar a en een keer naar b geeft je twee vergelijkingen om de gepaste a en b te vinden...

cl
4-6-2008