WisFaq!

Stelsel parametervergelijking opstellen

Hoe kan ik een stelsel parametervergelijking van een rechte opstellen als er 2 coördinaten gegeven worden van twee punten die op de rechte liggen.

...
1-6-2008

Antwoord

Stel dat de punten A(x₁,y₁) en B(x₂,y₂) gegeven zijn. Dit is dan een stelsel parametervergelijkingen van de rechte AB:
x = x₁ + t·(x₂-x₁)
y = y₁ + t·(y₂-y₁)

Hoe zijn we daar aan gekomen? Wel, merk op dat voor een vast punt P(x₁,y₁) op een rechte en een veranderlijk punt Q(x,y) op die rechte, er steeds geldt dat de vector PQ, altijd dezelfde is, op een factor na. (Teken dit eens: neem een vast punt P op een rechte en teken verschillende punten Q op de rechte. Teken dan de vectoren PQ. Deze zullen steeds dezelfde richting en aangrijpingspunt hebben.) We noemen daarom deze vector de "richtingsvector" van de rechte, zeg R(r₁,r₂). Nu geldt dus voor alle Q(x,y) op de rechte, dat de vector PQ gelijk is aan t·(r₁,r₂), en aangezien PQ = Q-P = (x-x₁,y-y₁), moet dit dus een stelsel parameter vergelijkingen zijn van de rechte:
x - x₁ = t·r₁
y - y₁ = t·r₂

Keren we nu terug naar de situatie van daarnet: de punten A(x₁,y₁) en B(x₂,y₂) zijn gegeven op de rechte. Natuurlijk kunnen we A laten werken als de P uit de vorige paragraaf. En wat zegt B ons precies? Wel, die legt natuurlijk de richtingsvector van de rechte vast! Dankzij B kunnen we bepalen wat r₁ en r₂ zijn. Een mogelijke manier is om bijvoorbeeld te eisen dat als t = 1, er moet gelden dat de rechte "bij B zit", dus x = x₂ en y = y₂. Dit levert op dat r₁ = t·r₁ = x-x₁ = x₂-x₁, en analoog r₂ = y₂-y₁. Deze eis levert ons dan het stelsel parametervergelijkingen dat ik helemaal in het begin vermeldde. (Merk op dat we even goed hadden kunnen stellen dat de rechte maar "bij B aankomt" als t = 2. Probeer eens een stelsel parametervergelijkingen op te stellen voor die situatie!)

Christophe

cd
1-6-2008