WisFaq!

Re: Limiet bij reeks r tot de macht n

beste wisfaq,

ik denk dat mijn vraag niet duidelijk was...voor mij is het bekend (ik heb de grafieken)hoe de grafieken van r^n lopen.
Het gaat mij meer om hoe ik dit wiskundig moet bewijzen.
In het boek wordt gezegd dat
-1r0
0|r|1

zover ik het begrijpt gaat het hier om m.b.v. inductie te bewijzen dat het limiet 0 is.

ik wil dus begrijpen hoe bovenstaande stappen tot stand komen. (ik denk maar weet dus niet of dit de juiste handeling is dat zowel links als rechts 1 opgeteld wordt, waarom r dan de absolute strepen krijg begrijp ik niet....

ik heb het geprobeerd te begrijpen met onderstaande voorbeeld maar wederom loop ik vast bij de laatste handeling:
met [...] bedoel ik onderscript
ik moet bewijzen dat {a[n]} convergent is
met: a[1]=2 en a[(n+1)]=0,5*(a[n]+6)

hiervoor zijn 2 voorwaarden waar ik aan moet voldoen:
1e bewijzen dat a[n+1[a[n] voor alle waarden van n (nÎN)

als ik de eerste termen invul lijkt alsof de rij de waarde 6 benadert, en dat 6 dus het limiet is....

voor n=1 klopt dit want a²=4a[1]
ik vervang n door k zodat geldt:

a[k+1]a[k]
a[k+1]+6a[k]+6
0,5(a[k+1]+6)0,5(a[k]+6) door de haakjes weg te werken:
a[k+1]a[k] en dus geldt
a[k+2]a[k+1]

tot zover begrijp ik het.

2e voorwaarde is om na te gaan of {a[n]} begrenst is door te laten zien dat a[n]6 voor alle waarden van n. ik weet dat de rij naar beneden is begrenst omdat a[n]a[1] ik vervang n door een willekeurig getal (=k)

a[k]6
a[k]+612
0,5(a[k]+6)12*0,5

a[k+1]6 (dit begrijp ik niet, ik weet niet waarom je ongestraft bij de underscore aan de linkerkant de waarde 1 bij mag optellen [k]Þ[k+1] zonderdat aan de rechterkant iets bij hoeft.....

kortom het wordt steeds maar moeilijker om na te gaan wat daadwerkelijk gebeurt.
kunt u mij uitleggen welke stappen gemaakt worden om de volgende voor melkaar te krijgen...?

uit de eerste vraag:
-1r0
0|r|1

uit de tweede vraag:
¹/₂(a[k]+6)12*¹/₂
a[k+1]6 (met waarden wegstrepen kom ik tot a[k]6)

alvast bedankt voor de genomen moeite.

mvg,

Carlos

carlos
29-5-2008

Antwoord

Vraag 1: het lijkt me sterk dat het boek alleen de regeltjes -1r0 en 0|r|1 laat zien; dat is heel slecht schrijfwerk. Er staat wellicht iets als: uit -1r0 volgt 0|r|1. Dat volgt ogenblikkelijk uit de definitie van de absolute waarde: |r|=r als r=0 en |r|=-r als r0 (dit heeft dus niets met 1 erbij optellen te maken): als -1r0 dan volgt 0-r1 en daar staat 0|r|1.
Vraag 2: Je hebt netjes uit a_k6 afgeleid dat ¹/₂(a_k+6)6 en daar staat gewoon a_k+16 omdat de rij zo gedefinieerd is: a_k+1=¹/₂(a_k+6)

kphart
30-5-2008