WisFaq!

Voorwaarde opdat de inverse matrix van A bestaat

Hallo WisFaq. Voor het eerst heb ik een vraag die ik niet op jullie website beantwoord heb zien staan.
Ik moet een voorwaarde kunnen verwoorden, waaraan de inverse matrix van A (A^-1) moet voldoen opdat ze zou bestaan.
Aldus moet ik aantonen dat

[A B
C D]

inverteerbaar is, als en slechts als AD - BC ¹ 0.
Ik moet dus de inverse

[X Y
Z U]
zoeken, opdat

[A B · [X Y = [1 0
C D] Z U] 0 1].

Dit moet ik doen door A · A^-1 te doen, maar dit blijkt tegen te vallen.

Dan vind ik een stelsel van de vorm

AX + BZ = 1
CX + DZ = 0
AY + BT = 0
CY + DT = 1

Hier loop ik vast, daar ik het stelsel door middel van combinatie niet kan oplossen.
De enige voorwaarde die ik kan vinden opdat A inverteerbaar is, is dat A, B, C en D niet gelijk zijn aan elkaar, maar dat is te evident om de correcte oplossing te zijn denk ik.

Alvast bedankt!
Jeroen.

Jeroen De Doncker
13-5-2008

Antwoord

Nochtans is het een stelsel als een ander en kan je bijvoorbeeld de substitutiemethode herhaaldelijk toepassen. Schrijf met behulp van een van de vergelijkingen een van de onbekenden als functie van de overblijvende en pas die substitutie toe in de andere vergelijkingen. Een intelligente keuze zou bijvoorbeeld zijn om Z als -CX/D en T als -AY/B te schrijven en in de eerste en vierde vergelijking te stoppen. Zo heb je al twee vergelijkingen en twee onbekenden weggewerkt en heb je nog 1 stap te gaan. Merk wel op dat je voor die eerste twee substituties al meteen moet veronderstellen dat B en D niet nul zijn, dus de gevallen waarin dat wel zo zou zijn moet je apart behandelen.

cl
14-5-2008