WisFaq!

Lebesque Lemma

Ik heb hier een vraag over de Maat theorie, ik weet dat dit site meer bedoeld is voor voorgezetonderwijs maar in het geval als iemand wat over weet zal het leuk zijn.

Vraag:
functie f in ([0,1], of1)
fn een rij convergeert puntgewijs naar f
fn in ([0,1], of1)

toon aan lim n-oneindig integraal van 0 tot 1 van |fn - f|dt = 0

in andere woorden wordt hier mee bedoeld om aan te tonen dat lim en de integraal verwisseld mogen woorden.

Voorwaarde: er mag geen monotone convergentie stelling gebruikt worden.

mijn aanpak:
neem gn = sup|fn - f|, g(n+1) strikt kleiner dan g(n)
merk op gn daalt monotone naar nul.

hiermee met monotone convergentie stelling ben ik dan klaar maar dat mag ik juist niet gebruiken hier.

dus heb geprobeerd nu met ongerijmd.
stel gn = |fn - f| en gaat niet naar nul. fn en f beide begrensed en gedefineerd op gesloten interval dus is perdefinitie convergent naar een limit waarde a bij n naar oneindig.

dan is integral van |fn - f| dt = c 1
ik vraag me af of ik nu met stap functie moet benaderen of iets anders, er moet ergens een tegenspraak zijn maar dat is mij nog niet gelukt.

PS: volgens mij is het juist de technisch punt in de hele lebesque integraal lemma.

Ke Zhang
29-4-2008

Antwoord

Het is een beetje flauw om de monotone-convergentiestelling niet toe te laten maar vooruit. Het is niet gezegd dat de rij g_n naar nul convergeert: definieer f_n(t)=nt als t1/n; 2-nt als 1/n=t2/n; en 0 als 2/n=t. Dan gaat de rij f_n puntsgewijs naar nul, maar g_n=1 voor alle n.
Laat epsilon0 en bekijk voor elke n de verzameling A_n die bestaat uit de t met |f_m(t)-f(t)|=epsilon voor m=n; deze vormen een stijgende rij verzamelingen in [0,1] met vereniging [0,1]. Dus de limiet van hun maten is 1. Kies n zo groot dat de maat van A_n groter dan 1-epsilon is; voor m=n is de integraal van |f_n-f| nu kleiner dan 2epsilon (integreer apart over A_n en zijn complement).

kphart
29-4-2008