WisFaq!

Maximale oppervlakte van een trapezium

Ik moet de maximale oppervlakte van een goot berekenen. Het enige wat ik weet ik dat de goot gemaakt is van een plak lood van 25 cm breed. Tot nu toe ben ik zover gekomen met mijn som maar hier loop ik vast:

Omtrek=25
Omtrek=x+2AE

Oppervlakte=oppervlakte BCEF+oppervlakte ABCD
Oppervlakte=BC·BE+AB·AC

AE=25-x¸2=12,5-0,5x

sin a=BE¸AE
sin a=BE¸12,5-0,5x

BE=(12,5-0,5x)sin a

cos a=AB¸AE

AB=(12,5-0,5x)cos a

Oppervlakte=(12,5-0,5x)2·sin a·cos a+((12,5-0,5x)sin a)x
Oppervlakte=(12,5-0,5x)(12,5-0,5x)·sin a·cos a+((12,5-0,5x)·sin a)x

f.b
17-4-2008

Antwoord

Een vraag om nadere informatie leverde het volgende op:

Ik heb mijn berekening een beetje aangepast, want ik heb nu de schuine zijden x genoemt, en eerst had ik de onderkant x genoemd.
Dit heb ik nu:

Maximale oppervlakte:

Omtrek=25=2x+EF
EF=25-2x
Oppervlakte=oppervlakte BCEF+oppervlakte ABCD

=EF·AC+AB·AC
=(25-2x)·AC+AB·AC

sin α=AC/x
AC=sin α·x
cos α=AB/x
AB=cos α·x

Oppervlakte=((25-2x)·sin α·x)+(cos α·x·sin α·x)

=((25-2x)·sin α·x)+(2x·cos α·sin α)

Maar ik weet nu niet hoe ik hier de afgeleide van kan nemen.
Alvast bedankt!

Tot zover klopt het bijna: je maakt in het laatste deel van je berekening van x·x het resultaat 2x, maar dat moet natuurlijk x² zijn.
Verder is het een beetje verwarrend dat er in twee aparte plaatjes aan verschillende punten dezelfde namen zijn gegeven (met de AC uit je berekening is bedoeld: de AC in het rechterplaatje).

Dit is geen eenvoudig probleem!

Als je hiervan het maximum wilt weten, dan zoek je naar een x en een α zodat zowel de afgeleide naar x als de afgeleide naar α gelijk is aan 0.
Je hebt hier namelijk te maken met een functie van twee variabelen.
Heb je al geleerd hoe je een partiële afgeleide berekent?
Beide partiële afgeleiden gelijkstellen aan 0 levert twee vergelijkingen op met onbekenden α en x. Dit stelsel is oplosbaar.
Kom je hier verder mee?

Anneke
18-4-2008