WisFaq!

Derdegraads vergelijkingen

Ik had even een vraagje ik heb deze formule op kunnen lossen: Bereken de waarde van p en q en de benader de twee andere oplossingen met de abc-formule in 2 decimalen nauwkeurig.
Van de vergelijking x³ - 3x² + x + 1 = 0 zie je snel dat x=1 een oplossing is.
Daarom moet je deze vergelijking kunnen ontbinden in een vorm van
(x – 1)(x² + px + q) = 0
Laat zien dat p – 1 = 3, q – p = 1 en – q = 1

Eerst werk je de haakjes van (x – 1)(x² + px + q) = 0 weer weg.
Je krijgt dan:
x³ + px² + qx – x² - px – q = 0
Als je dit combineert met : p – 1 = 3, q – p = 1 en – q = 1 krijg je;
x³ + (p – 1)x² + (q – p)x – q;
hierin moet de x overal hetzelfde zijn als in:
x³ - 3x² + x + 1
Hieruit volgt;
Het getal voor de x² is bij de een -3 en bij de andere p – 1, is dus p – 1 = 3
Het getal voor de x is bij de een 1 en bij de ander q – p, is dus q – p = 1
Het getal erna is bij de een 1 en bij de ander – q, is dus – q = 1

Nu kun je p en q uitrekenen;
Met p – 1 = 3, volgt dat p = - 2
Met –q = 1, volgt dat q = - 1
q – p = 1, dit klopt als je kijkt naar: - 1 + ( - - ) 2 = 1

Nu wordt de formule dus:
(x – 1)(x² - 2x - 1) = 0
Dus is;
x = 1 of x² - 2x – 1 = 0
Nu met de GR, de abc-formule invullen.

en dan gewoon x en x vinden, maar nu mijn vraag wij moeten nu op dezelfde manier deze vergelijking oplossen:
x³ - 5x² +2x +8 = 0, nu had ik al een beginnetje gemaakt, alleen ik doe volgens mij iets verkeerd:
los op dezelfde manier op: x³ - 5x² +2x +8 = 0
Uit deze formule kan je snel zien dat -1, een oplossing is.
Nu kan je dus net als de vorige opdracht de vergelijking ontbinden in een vorm van:
(x + 1)(x² + px + q) = 0
Nu kun je zien dat;
p + 1 = - 5, q – p = 2 en –q = 8

Eerst werk je de haakjes van (x + 1)(x² + px + q) = 0 weer weg.
Je krijgt dan:
x³ + px² + qx + x² + px + q
Je combineert dit met
p + 1 = - 5, q – p = 2 en –q = 8
dan krijg je;
x³ + (p +1)x² + (q – p)x – q;
Hierin moet x overal hetzelfde zijn als in:
x³ - 5x² +2x +8 = 0
Het getal voor de x² is bij de een – 5 en bij de ander p + 1, is dus p +1 = - 5
Het getal voor de x is bij de een 2 en bij de ander q – p, is dus q – p = 2
Het andere getal erna is bij de een 8 en bij de ander – q, is dus – q = 8

Nu kun je p en q weer uitrekenen:
Met p + 1 = - 5, volgt dat p = - 6
Met – q = 8, volgt dat q = - 8
q – p = 2, klopt niet :S
, zou u hier even naar kunnen kijken en wat ik precies fout doe en hoe ik het wel zou moeten doen?

daan
17-4-2008

Antwoord

Daan,
x=-1 is geen oplossing van de vergelijking, maar x=2 wel.

kn
17-4-2008