WisFaq!

Wiskundige definitie van de limiet van een rij

Beste wisfaq,

bij het bestuderen van de theorie van rijen en reeksen (eerste poging tot op heden). loop ik vast.
een reeks is convergent als de limiet van de reeks een bepaalde waarde benadert. in dit geval kan in het algemeen worden geschreven:
lim(n®¥)a(n)=L, dit houdt in dat naarmate n groter wordt L de uitkomst dichter bij L komt te liggen, niets bijzonders dus.

De wiskundige definitie luidt:
bij elke e0 bestaat een N Î zodat nN, dan geldt |a(n)-L|e (als nN), hier zijn twee nieuwe termen geintroduceerd namelijk e en N. kunt u me uitleggen wat deze termen betekenen? e en waarvoor ik ze kan toepassen??

alvast bedankt!!

grt,

Carlos

carlos
14-4-2008

Antwoord

Beste Carlos,

Maak om te beginnen duidelijk een onderscheid tussen een rij en een reeks. Je beschrijft de definitie van een convergente rij, dus een rij die een limiet heeft. We zeggen inderdaad dat een rij a(n) convergeert naar het reëel getal L, indien de waarden van de rij willekeurig dicht bij L komen te liggen (als we maar ver genoeg in de rij kijken). Deze definitie "in woorden" willen we nu formaliseren en gieten in een symbolische definitie.

Eerst het stuk "willekeurig dicht", of met andere woorden: het verschil tussen de limietwaarde en een element van de rij, moet dus zo klein worden als we maar willen. Hoe klein? Kleiner dan eender welk positief getal dat we opleggen, dit is de e0. Het geeft het maximaal toegelaten verschil tussen de limiet en een element van de rij. Merk op dat we in de definitie eisen dat dit moet gelden voor elke e0 die we kiezen.

Moet dit gelden voor alle elementen van de rij? Nee, als het maar klopt door ver genoeg te kijken in de rij. Hier komt de N. Telkens als we zo'n e opleggen, moet het verschil tussen de elementen van de rij en de limiet kleiner zijn dan die e, vanaf een zekere index. Zo'n grensindex vanaf waar het zeker geldt, moet je zoeken of kunnen geven: dit is de N. Het verschil |a(i)-L| hoort dus kleiner dan e te zijn, voor alle i N. Door een andere e op te leggen, kan die N groter of kleiner worden.

Een verduidelijkend voorbeeld, bekijk de rij, beginnend bij a(0):
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, ...

Het is duidelijk dat deze rij naar 0 convergeert, dus L = 0. Stel we nemen e=0,2. Kunnen we dan een N vinden zodat |a(i)-L|e voor alle iN? Omdat L = 0, wordt die voorwaarde: |a(i)|0,2. Dit klopt niet voor a(0), a(1) en a(2); deze laatste is 1/4 = 0,25. Maar a(3) = 0,125 en dat is wel kleiner dan 0,2. Vanaf dan daalt de rij verder, dus voor alle i≥3 is |a(i)| 0,2. We kunnen N = 3 nemen.

Maar stel dat we de voorwaarde verscherpen door e te verkleinen. We nemen nu e=0,02. In dat geval ligt a(3) (dat was 0,125) verder van 0 dan onze e. Ook a(4) en a(5) zijn nog te groot, maar a(6) = 1/64 = 0,015625 en dat is kleiner dan 0,02. Daarna daalt de rij verder, dus alle elementen vanaf a(6) voldoen. We kunnen dus N = 6 nemen. Merk op dat het nooit "kwaad" kan om N groter dan nodig te nemen, dan geldt het immers zeker.

Nu even terugkeren naar de algemene definitie. We zeggen dat een rij een limiet L heeft, als je zo'n index N altijd kan vinden, van zodra een e0 gegeven is. Dus hoe klein je e ook vastlegt, als je toch steeds een N kan geven (eventueel "heel ver" in de rij) zodat het verschil tussen limiet en elementen van de rij (vanaf die grensindex N) kleiner is dan e; dan convergeert de rij naar L.

Nog een opmerking: bovenstaand voorbeeld dient om de rol van e en N te verduidelijken. Als we "in de praktijk" het bestaan van een limiet met deze definitie wil bewijzen, dan kiezen we geen bepaalde waarden van e en N zoals hierboven. We moeten immers aantonen dat het voor alle e kan, zo'n bewijs is dus wat abstracter.

Hopelijk al iets duidelijker zo. Laat het zeker even bezinken, dit is niet gemakkelijk als je het voor het eerst bestudeert. Als je nog vragen hebt, reageer je maar.

mvg,
Tom

td
14-4-2008