WisFaq!

Integraal

Hello,

Kunt u mij helpen?
Laat f:[0,1]® continu.
Laat zien dat er een cÎ[0,1] bestaat waarvoor:
òx²f(x)dx = ¹/₃f(c).
Hoe laat ik dit zien?

Volgens mij moet ik de middelwaardestelling combineren met partiële integratie, maar ik zie niet hoe.

Bedankt bij voorbaat.

Joost
9-4-2008

Antwoord

De gegeneraliseerde eerste middelwaardestelling van de integraalrekening luidt:
als f en g continue functies zijn op [a,b] en g wisselt op dat interval niet van teken, dan is er een getal c Î[a,b] waarvoor geldt dat ò(f(x).g(x)dx = f(c).òg(x)dx. De integratiegrenzen zijn natuurlijk a en b.
Met [a,b] = [0,1] en g(x) = x² heb je precies in jouw opgave.
Het bewijs is vast in je analyseboeken te vinden.

MBL
9-4-2008