WisFaq!

Derdegraads vergelijkingen oplossen

Hoi wisfaq
Van de vergelijking x³-3x²+x+1=0 is x=1 een oplossing. Hoe kun je dan laten zien dat p-1=3, q-p=1 en -q=1 is?
Deze vraag is al eerder gestelt, waarschijnlijk door iemand met dezelfde methode, maar van de uitleg die jullie hierbij geven snap ik niet veel. Mijn vraag is nu: is er een manier om dit makkelijker uit te rekenen?

lisa
31-3-2008

Antwoord

Ik vond Derdegraads vergelijkingen nogal duidelijk... maar vooruit maar, 't is voorjaar...

Stap 1.
Als x=1 een oplossing is van de vergelijking x³-3x²+x+1=0 dan kan je de vergelijking schrijven als:

(x-1)(x²+px+q)=0

Dit heeft te maken met ontbinden in factoren en de factorstelling.

Stap 2.
Als je bij (x-1)(x²+px+q) de haakjes wegwerkt dan zou je x³-3x²+x+1 moeten krijgen. De uitdrukkingen waren immers gelijk aan elkaar.

(x-1)(x²+px+q)=x³+px²+qx-x²-px-q

Stap 3.
Neem de gelijksoortige termen samen:
x³+px²+qx-x²-px-q=x³+(p-1)x²+(q-p)x-q

Stap 4.
Als x³+(p-1)x²+(q-p)x-q hetzelfde is als x³-3x²+x+1 dan moet p-1=-3 zijn, q-p=1 en q=-1.

Bij welke stap heb je dan een probleem? Makkelijker kunnen we 't niet maken...

WvR
31-3-2008