WisFaq!

Inhoud van het snijdende deel van drie cilinders

Ik moet met de hand berekenen wat de inhoud is van drie cilinders die elkaar in een punt haaks snijden, waarbij geldt dat:
x²+y²=16
x²+z²=16
y²+z²=16

De letterlijke vraag is: Drie ronde buizen met straal 4 staan haaks op elkaar. Bereken het volume van het gezamelijke deel (de doorsnede) van deze buizen.

Hopelijk kan iemand mij helpen!
Alvast bedankt

Linda
27-3-2008

Antwoord

Om te beginnen: kijk alleen in het eerste octant (x0, y0, z0), dat geeft een achtste deel van je lichaam. Dat ligt boven de kwart cirkelschijf gegeven door x²+y²16. De randen van de twee andere cylinders snijden elkaar in het vlak met vergelijking x=y. Boven het deel met xy telt x²+z²=16 als bovengrens en als yx moeten we y²+z²=16 hebben.
We bekijken het stuk D met yx; het volume van dat stuk (nu één-zestiende van het geheel) is de integraal, over D van wortel(16-y²). Overgang op poolcoördinaten (0r4 en 0thetap/4) geeft de integraal van r*wortel(16-r²sin²(theta)); die is niet moeilijk uit te rekenen: eerst naar r integreren en dan naar theta (en gebruiken dat 1-sin²theta=cos²theta).
De link hieronder laat ook wat plaatjes van het lichaam zien.

Zie Mathworld: Steinmetz-lichamen [http://www.wisfaq.nl/top.htm?url=http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html]

kphart
28-3-2008