WisFaq!

Volledige inductie voor elke natuurlijke getal groter dan 1

Hoi,
Ik wil graag antwoord hebben op de volgende vraag.

Bewijs door de volledige inductie dat voor elke natuurlijke getal groter dan 1 geldt:

n
$\sum$(n+1)·k·2^k-1 = (n²-1)·2ⁿ
k=2

Alvast bedankt

Annejet,

Annejet
26-3-2008

Antwoord

Annejet,
Laten we eerst maar beide leden door (n+1) delen. Het rechterlid wordt dan (n-1)2ⁿ. Voor n=2 is de bewering waar. Nu van n naar n+1. De som k=2 naar n+1 spliten we in de som van k=2 naar n, die op grond van de inductieveronderstelling gelijk is aan (n-1)2ⁿ, plus de term voor k=n+1.
Dit geeft: (n-1)2ⁿ+(n+1)2ⁿ=n2ⁿ⁺¹.
Q.E.D.

kn
26-3-2008