WisFaq!

Re: Re: Bewijzen van limiet met behulp van formele definitie

Delta mag dus alleen afhangen van epsilon. Maar als ik in dit geval met mijn eigen formule een delta probeer te vinden bij een epsilon, dan werkt het wel. Want dat je bij het ene getal een ander getal kunt vinden, wil toch niet zeggen dat je dat niet via een omweg kunt doen met een derde getal? Ik snap het niet echt.

Roel
26-3-2008

Antwoord

Beste Roel,

Ik kan begrijpen dat het wat vreemd overkomt om onderweg in je bewijs, d1 te veronderstellen. Eigenlijk doet men dit 'voor de eenvoud', dit levert een eenvoudige afschatting en verderop een eenvoudige vorm voor delta. Je hoeft dit niet te doen, je kan alles proberen te herschrijven naar |x-a|, waarvan je weet dat het kleiner is dan delta.

Toegepast op jouw bewijs, terugkeren naar |x²-1| = |x-1||x+1|. Herschrijf de tweede factor als |x-1+2| |x-1|+2, dit volgt uit de driehoeksongelijkheid. Dus: |x²-1| |x-1|(|x-1|+2) d(d+2) = d²+2d. We voldoen nu aan de definitie door e0 te nemen zodat d(d+2)e. Deze kwadratische ongelijkheid in d kan je oplossen in functie van e.

Het 'mooie' is dat je geen afschattingen onderweg moet doen, je gebruikt alleen rechtstreeks |x-a|d. Het 'nadeel' is dat je nu een kwadratische ongelijkheid krijgt met, in het algemeen, wortels in de oplossing. De vorige methode heeft dat niet, omdat we een extra voorwaarde opleggen aan delta.

mvg,
Tom

td
26-3-2008