WisFaq!

Ongelijkheid in driehoek

Hallo Wisfaq Crew,

Prettige Paastijd en ik hoop datde eitjes goed gesmaakt hebben !!

Een probleem waar ik niet uit geraakt ben....

Construeer een rechthoekige driehoek met C als rechte hoek.
Op de schuine zijde AB teken ik nog een driehoek met D als stompe hoek.
Bewijs nu : |CB||AD|+|DB|
Ik probeer alle termen met ongelijkheden te schrijven en dan op te tellen, maar ik kom er niet uit ....
Groetjes op deze Witte Pasen !

Rik Lemmens
24-3-2008

Antwoord

wat denk je van

CB AB en AB AD + DB dus CB AB + DB

maar als je dit niet goed vind, kan je ook eens via de cosinusregel proberen, (dit is misschien 'eleganter')
ik dacht hierbij aan het volgende :

AB² = AD²+DB² + 2AD·DB cos(t) (cosinus regel in de driehoek ADB, t de hoek van D)

en AC² + CB² = AB² (pythagoras in de rechthoekige driehoek ABC)

dus AC² + CB² = AD²+DB² - 2AD·DB cos(t)

vermits lengtes van zijden positief zijn, tel ik er 4·AD·DB cos(t) bij aan een kant, wat de vgl tot een ongelijkheid maakt, vermits nu cos(t)1 is voor alle t, kan ik dit ook weglaten waardoor de ongelijkheid enkel sterker wordt.

AC² + CB² AD²+DB² + 2AD·DB = (AD+DB)²

als je nu AC² weglaat (dit is toch positief, dus als je dat weg laat wordt de ongelijkheid enkel sterker) kom je de te bewijzen uitdrukking uit door aan beide leden de wortel te nemen.

winny

wk
24-3-2008