WisFaq!

Zwaartepunt van oppervlak algebraisch bepalen

Gegeven is de functie f(x)=4/(x²) met x>0
De grafiek van f, de x-as en de lijnen x=1 en x=2 sluiten een vlakdeel V in.
Bereken algebraisch de coordinaten van het zwaartepunt Z van V.

Deze vraag kreeg ik op een dossiertoets, de x-coordinaat wist ik wel te bereken. Maar de y-coordinaat lukte mij niet. Ik heb geleerd de grafiek 90 graden te moeten draaien en zo een nieuwe functie op te stellen, rekeninghoudend met de x-grenzen. Misschien dat jullie me kunnen helpen met het draaien en de juiste functie?

Matthijs
21-11-2002

Antwoord

Stel het zwaartepunt Z heeft coordinaten x_z en y_z.

x_z kun je relatief eenvoudig berekenen, via:

x_z=$\int{}$x.f(x)dx/$\int{}$f(x)dx met integratiegrenzen 1 en 2
=($\int{}$4/x dx)/($\int{}$4/x² dx) = ... = 2ln2

De y-coordinaat is ietsje lastiger, zoals je wel gemerkt hebt.
de berekening van y_z gaat in beginsel hetzelfde
y_z=($\int{}$y.f(y)dy)/($\int{}$f(y)dy)

Je hebt nou een uitdrukking voor y=f(x), maar wat je nu nodig hebt is een uitdrukking voor x=f(y)
y=4/x² $\Leftrightarrow$ ... $\Leftrightarrow$ x=2/√y (de min-variant van x laten we achterwege)

Het maakt voor de y-coordinaat van het zwaartepunt niet uit dat we de functie f(y) met 1 verlagen, zodoende komt de onderste lijn van de integratiegrens op de y-as te liggen, en dat rekent makkelijker i.v.m. het integreren.

g(y)=f(y)-1=2/√y -1

y_z=($\int{}$y.g(y)dy)/($\int{}$g(y)dy) met integratiegrenzen 1 en 4.

Merk op dat de grafiek (het bedoelde gebied) langs de y-as bezien opgesplitst moet worden in 2 stukken.
Van y=1 tot y=4 is g(y)=2/√y -1
van y=0 tot y=1 is g(y)=1

Dus
y_z=($\int{}$y.1dy + $\int{}$(2/√y -1)ydy)/($\int{}$1dy + $\int{}$(2/√y -1)dy)
met de eerste integraal van teller en noemer y=0..1 eb de tweede integraal y=1..4

En volgens mijn berekening ZOU daar 7/6 uit moeten komen, maar het kan natuurlijk zijn dat ik ergens een rekenfoutje gemaakt heb.

groeten,
martijn

mg
23-11-2002