WisFaq!

Kortste afstand

Gegeven: de functie y = ln x.
In welk punt loopt de grafiek van deze functie het dichtste langs de rechte met vergelijking y = x? En wat is dan die kortste afstand tussen de rechte en de kromme?
M.a.w. hoe los ik de vergelijking x = e^x op?
Bedankt voor de hulp!

Anneke
17-3-2008

Antwoord

De verglijking x=e^x heeft geen oplossingen. e^xx voor iedere x.
Je kunt het probleem op een aantal manieren aanpakken.
Alle punten die op een bepaalde afstand, zeg d, liggen van de lijn y=x liggen op een lijn evenwijdig met de lijn y=x. Of met andere woorden:
Het kortste verbindingslijnstuk tussen de lijn y=x en de grafiek van y=ln x heeft richtingscoefficient -1.
Als we nu ook even aannemen dat dit lijnstuk loodrecht op de kromme y=ln(x) staat zoeken we dus het punt op de grafiek van y=ln(x) zo, dat de raaklijn aan y=ln(x) richtingscoefficient 1 heeft.
Aangezien de afgeleide van ln(x)=1/x is dit dus het punt met x-coordinaat 1, dus het punt (1,0).
Een andere mogelijkheid is het punt op de grafiek van y=ln(x) te parametriseren tot (a,ln(a))
De lijn met helling -1 door dit punt is y=-(x-a)+ln(a).
Als we deze lijn snijden met de lijn y=x krijgen we als snijpunt het punt met x=y=¹/₂(a+ln(a))
Het kwadraat van de afstand tussen dit punt en het punt (a,ln(a)) is
(¹/₂(a+ln(a))-a)²+(¹/₂(a+ln(a)-ln(a))².
Dit laat zich vereenvoudigen tot ¹/₂(a-ln(a))².
Aangzien aln(a) voor iedere a volgt dat dit minimaal als a-ln(a) minimaal is.
Uit ^d/_da(a-ln(a))=1-1/a volgt weer a=1.

En er bestaan waarschijnlijk nog wel meer methoden om dit vraagstuk op te lossen.

hk
17-3-2008