WisFaq!

Product topologie

Waarom is de product topologie (oneindige) van X_i allemaal discrete ruimtes niet discreet? (#X_i 1)
Hoe bewijs je dit?

En verder, hoe toon je aan dat de triviale topologie altijd wegsamenhangend is. Ik heb: Neem een topologie op [0,1]. Bouw nu een functie tussen de triviale topologie en deze verzameling, die is dus altijd continu. Dus, we hebben een continue functie, en die kunnen we zo kiezen dat we een pad hebben.

Maar dat 'voelt' niet goed aan, betere suggesties?

Jonas
10-3-2008

Antwoord

Ik zou zeggen: kijk naar de definitie.
Gegeven een punt x=(x_i)_i in het product, bewijs dat {x} niet open is. Neem aan van wel, dan is er een basis-open verzameling O binnen {x} waar x in zit. In dit speciale geval zou dan zelfs O={x} gelden. O is door eindig veel i bepaald; kies een index j ongelijk aan al die i (dat kan want er zijn oneindig veel indices); kies dan in X_j een punt y ongelijk aan x_j en definieer p in het product door: p_j=y en p_i=x_i als i onhelijk is aan j. Dan is p ongelijk aan x en p zit in O.

Goed op de volgorde letten: [0,1] draagt zijn gewone topologie en de gegeven ruimte X draagt de triviale (indiscrete) topologie. Laat x en y punten van X zijn. Definieer f:[0,1] - X door f(t)=x als t1/2 en f(t)=y als t1/2.
Deze functie is automatisch continu: voor elke open verzameling in X (welke zijn dat?) is het vcolledig originaal open.

kphart
11-3-2008