WisFaq!

Raakvlakken aan kegel

Van een piramide T.ABCD is het grondvlak een vierkant. BC staat loodrecht op DCT. De omgeschreven cirkel van driehoek TCD (middelpunt M) is de grondcirkel van een rechte cirkelkegel, waarvan de top S in vlak TAB ligt.
a. Construeer het punt S.
b. Er zijn twee raakvlakken aan de kegel die door B gaan. Construeer de doorsnede van de piramide met dat raakvlak door B dat de gegeven cirkel raakt in het pu nt dat het dichtst bij D ligt.
c. TB heeft behalve het punt T nog een punt U met de kegelmantel gemeen. Construeer het punt U.

Mijn uitwerkingen:
a. M' is de projectie van M op DC.
R = AB Ç lijn door M' evenwijdig aan BC
S = TR Ç lijn door M evenwijdig aan BC
b. ???
c. ???

Graag zou ik hulp hierbij krijgen.
Groeten Tjen

Tjen
8-3-2008

Antwoord

Dag Tjen,
Ik neem aan dat vlak DCT evenwijdig is met het projectievlak, zodat de cirkel ook in de tekening een echte cirkel is.

a) M, M' ,R en T liggen niet in en één vlak, dus TR en de lijn door M evenwijdig BC snijden elkaar niet.

Trek een lijn door M, evenwijdig BC. Dit is de as van de kegel.
Trek door snijpunt van DT en CM een lijn evenwijdig BC.
E=snijpunt van deze lijn met AT.
S=as van de kegel ÇBE. S is top van de kegel.

Zie plaatje: Hier is DTC als voorvlak gekozen. Om het iets duidelijker te maken zijn alle lijnen en punten in het voorvlak blauw gekleurd.

b)
K=BS ÇCM, dat is dan het snijpunt van de lijn door B en S, met het grondvlak van de kegel.
Trek nu een raaklijn door K aan de cirkel. R=raakpunt.
BER (of BKR) is het gevraagde raakvlak.

Nu de doorsnede met piramide:
De lijn door (TDÇKR) en E=snijlijn met vlak ADT.
De rest is dan niet zo moeilijk meer.

c)
S ligt in vlak KTB.
KT in vlak DCT
De lijn door (KTÇcirkel) en S snijdt TB in U.
Geef zelf uitleg waarom.

ldr
8-3-2008