WisFaq!

Legendre`s differentiaalvergelijking

Beste Wisfaq,

Ik zit met de volgende vraag.

Gegeven is Legendre's differentiaalvergelijking

d/dx[(1-x^2)dL_n(x)/dx] = -n(n+1) L_n(x)

En ik moet deze oplossen door partieel integreren. Ik heb echter geen idee waar te beginnen. Als ik eerst de linker kant en rechter kant naar x integreer krijg ik aan de rechterkant iets wat ik niet verder kan evalueren. Ik heb op internet ook wel andere methode gevonden om dit op te lossen maar vroeg me nu dus af hoe dat gebruik makende van de hint dat ik partieel moet integreren.

Herman de Vries

p.s. de Legendre polynomen zijn hier gedefinieerd als:

L_n(x) = [2ⁿ(n!)²]^-1dⁿ/dxⁿ(x²-1)ⁿ

en recursief als

nL_n(x) - (2n-1)xL_n-1(x)+nL_n-2=0

Herman de Vries
24-2-2008

Antwoord

Bedoel je met `oplossen' dat je de algemene oplossing van de DV d/dx[(1-x²)du/dx]=-n(n+1)u moet vinden of dat je moet laten zien dat L_n aan de DV voldoet?
Het eerste is onwaarschijnlijk omdat de tweede onafhankelijke oplossing van die DV niet in elementaire functies is uit te drukken.
Het tweede kan beter kloppen; in dat geval kun je het beter met volledige inductie doen: eerst kijken of het voor n=1 en n=2 klopt (gewoon door invullen) en daarna met behulp van de recursieformule voor verdere n. Wat partiëel integratie betreft: ik kan me daar niet zoveel bij voorstellen, anders dan dat je wellicht na een of twee stappen op de DV voor L_n-1 en/of L_n-2 uitkomt en dan ook een inductiebewijs kunt opzetten.

kphart
29-2-2008