WisFaq!

Gram-Schmidt procedure en Legendre polynomials

Beste Wisfaq,

Ik zit met de volgende vraag. Ik bestudeer op dit moment Legendre polynomen en kom vaak tegen dat deze kunnen worden verkregen door de Gram-Schmidt procedure toe te passen op de standaard basis (1,x,x², ... , xⁿ) van P_n (polynomen van graad n of minder) en dan vervolgens de resulterende polynomen te normaliseren zodat ze de waarde 1 hebben voor x = 1. Ik vraag me nu echter af waarom dit zo is en kan er geen goed argument voor vinden. Het argument dat ik had is als volgt (laat u₀ de eerste polynoom verkregen met de Gram-schmidt procedure zijn, u₁ de tweede etc, L₀ de eerste Legendre polynoom etc.):

u₀ = L₀ = 1

u₁ ^ u₀
L₁ ^ L₀ Þ L₁ ^ u₀

Nu zou ik hieruit willen concluderen dat L₁ // u₁ (dus als we nu deze vectoren normaliseren zodat ze de waarde 1 hebben, hebben we twee parallele vectoren met dezelfde lengte Þ deze twee zijn gelijk) en volgens mij klopt dat in dit geval ook nog wel (alhoewel het feit dat ze misschien antiparallel zijn me ook een beetje tegenspreekt) maar ik ben hier onzeker over als het aankomt op hogere graden.

Ik hoop dat jullie me kunnen uitleggen waarom we inderdaad hetgeen hebben als in de vraagstelling is gegeven (en of mijn eigen redenatie correct is). Ik heb ook al op internet proberen te vinden waarom dit zo is maar kan helaas het antwoord niet vinden.

Vriendelijke groet,

Herman

Herman de vries
24-2-2008

Antwoord

Beste Herman,

Je bent een eind op de goede weg. Echter, als L1 loodrecht op u0 staat kun je nog niet meteen constateren dat L1 dus evenweidig aan u1 is...

Het hangt er overigens wel een beetje vanaf hoe je de Legendre Polynomen definieert. Speciale functies (Legendre polynomen, Besselfuncties, de Gammafunctie, etc.) kunnen over het algemeen op meerdere manieren gedefinieerd worden (door recursie, met een genererende functie, etc.). Dat maakt niet uit. Zolang je maar bewijst dat het dezelfde functies oplevert.

Persoonlijk ben ik zelfs geneigd om de Legendre Polynomen te definieren als de polynomen die je krijgt door het Gram-Schmidt toe te passen op de basis {1,x,x²,...}. Blijkbaar gebruik jij een andere definitie (waarschijnlijk recrusie?). Als je die geeft kan ik misschien nog wat meer in detail vertellen.

Maar goed. Het kan ook wel als je gebruikt maakt van de volgende eigenschappen:
1) L_n is een polynoom van graad n
2) De legenedre polynomen zijn orthonormaal
Het lijkt mij dat je de zaak nu met inductie moet kunnen bewijzen.
u_k = L_k voor k n
u_n en L_n zijn allebeid een polynoom van graad n.
L_n-u_n staat loodrecht op alle u_k.
Als je nu nog kunt bewijzen dat L_n-u_n loodrecht op u_n staat moet L_n-u_n wel gelijk zijn aan nul (de set u₀,...,u_n vormt immers een basis voor de polynomen van graad n).

Om dat te kunnen doen moet je nog wel afrekenen met één vervelend detail. Zoals jij zelf al opmerkte kan het resultaat ook anti-parallel zijn. De set met eigenschappen (1) en (2) is niet uniek. Als een L_n door -L_n vervangt blijft de set aan de eigenschappen voldoen.
Je moet dus nog een derde eigenschap toevoegen die iets meer detail geeft. Bij voorbeeld: 3) de coefficient van de hoogste term is positief.

os
24-2-2008