WisFaq!

Legendre polynomen

Beste Wisfaq,

Ik heb de volgende vraag. Gegeven is een inproduct

(f,g) = ò_-1¹f(x)g(x) dx

En lengendre polynomen gedefinieerd door

L_n=1/(2ⁿ n!) dⁿ/dxⁿ [(x²-1)ⁿ]

Ik moet nu eerst aantonen dat dat (L_n,x^k) = 0 voor 0 kn.

en vervolgens afleiden dat

(L₀,L₁,...,L_n) een orthogonale basis van P_n (de set van alle reele polynomen van graad n (of lager)) is.

Het eerste deel van de vraag ben ik in staat op te lossen. We bepalen

(L_n,x^k) = ò_-1¹L_nx^k dx

door telkens partieel te integreren totdat die x^k helemaal weg is.

Mijn probleem is dat ik nu niet zie hoe hieruit volgt dat
(L₀,L₁,...,L_n) een orthogonale basis van P_n hoewel ik eerder al wel heb aangetoond dat het een basis van P_n is.
Naar mijn gevoel volgt het orthogonale gedeelte niet uit het bovenstaande maar zou men bijvoorbeeld moeten aantonen dat

(L_m,L_n)=0

wanneer m ¹ n. Er wordt echter duidelijk gesuggereerd in de vraagstelling enkel het bovenstaande te gebruiken en daar zit dan ook mijn probleem.

Ik vermoed hierover verder nog het volgende: ik denk dat het iets te doen heeft met het feit dat de basis (L₀,L₁,...,L_n) zoals hier gegeven geordend is.
Ik zie bijvoorbeeld wel hoe uit het bovenstaande volgt dat L_n ^ x^k maar niet dat L_n ^ L_k omdat L_k in het algemeen niet enkel uit de term x^k bestaat maar ook andere termen kan hebben van een macht lager dan k.

Wel dit is tot nu toe hoever ik zelf ben gekomen. Ik hoop dat jullie me hiermee verder op weg kunnen helpen.
Alvast bedankt,

Herman de Vries
21-2-2008

Antwoord

L_k is een polynoom van graad k; als nu, bijvoorbeeld, mn schrijf dan L_m(x)=a₀+a₁x+...+a_mx^m. Dan volgt dat (L_n,L_m) = a₀(L_n,1) + a₁(L_n,x) +...+ a_m(L_n,x^m) = ...

kphart
21-2-2008