WisFaq!

Differentiaalvergelijking opstellen

hallo
de DV
d(h)/d(t)= r²/R² . √(2.g.h(t)) met t$\geq$ o

dit is de niet verder uitgewerkte DV van de situatie: een vat met vleoeistof (water) leeg laten lopen.
ik vroe mij af hoe deze DV is ontstaan. hoe is die opgesteld?
bij voorbaat dank

eva
16-2-2008

Antwoord

Je hebt een rond vat (straal R) gevuld met water (waterhoogte h).
Onderin het vat zit een gaatje (straal r) waar het water uitstroomt. Daardoor is de waterhoogte h niet constant maar afhankelijk van de tijd.
Dus h=h(t)

De uitstroomsnelheid uit het gaatje hangt af van de waterhoogte. En is te berekenen uit energiebehoud E_zwaarte=E_kinetisch $\Leftrightarrow$
m.g.h = ¹/₂.m.v² $\Leftrightarrow$ g.h = ¹/₂.v² $\Leftrightarrow$ v=√(2.g.h)
En eigenlijk v(t)=√(2.g.h(t))

Nu geldt dat de volumeverandering in de tijd van het water in het vat
gelijk moet zijn aan de hoeveelheid water die per tijdseenheid uit het gaatje stroomt:
oppervlaktevat.dh/dt = oppervlaktegaatje.v_uitstroom $\Leftrightarrow$
$\pi$R².dh/dt = $\pi$r².√(2.g.h(t)) $\Leftrightarrow$
dh/dt = (r²/R²).√(2.g.h(t))

groeten,
martijn

mg
16-2-2008