WisFaq!

Aantal oplossingen voor een vergelijking

Beste Wisfaq,

Gevraagd is hoeveel oplossingen de volgende vergelijking heeft:

w+x+y+z = 9

(i) als w,x,y,z $\in\mathbf{N}\cup${0}
(ii) als w,x,y,z $\in\mathbf{N}$

Ik kan dit vraagstuk wel oplossen door systematisch alle mogelijkheden uit te schrijven maar vroeg me af of er ook een andere oplossing was zodat dit niet hoeft.

Bij voorbaat dank

Herman de Vries
13-2-2008

Antwoord

Dag Herman,

Er is inderdaad een andere oplossing, gebruik makend van combinatoriek:
Teken 9 punten op een rij. Zet nu op willekeurige plaatsen drie verticale strepen. Dat interpreteer je dan als volgt, van links naar rechts: als je bv hebt
|....|..|... dan betekent dat w=0, x=4, y=2, z=3.

Aangezien je die verticale strepen uiterst links of rechts, of vlak na elkaar kan zetten, zal duidelijk zijn dat je in geval (i) zit.

Dan moet je enkel nog tellen hoeveel zulke situaties je kan hebben, denk hierbij aan het tellen van anagrammen, dan kom je snel tot de oplossing 12!/(9!3!)=220.

Voor (ii) vind ik niet meteen een analoge situatie, maar dat hoeft ook niet: vermits w,x,y,z allemaal groter dan 0 zijn, zullen w'=w-1, x'=x-1, y'=y-1 en z'=z-1 allemaal minstens nul zijn. En w'+x'+y'+z'=9-4=5, dus je kan net hetzelfde doen als in het eerste deel, maar nu met 5 ipv met 9, dus als antwoord krijg je 8!/(5!3!)=56.

Groeten,
Christophe.

Christophe
14-2-2008