WisFaq!

Tweede Orde Recurrente Betrekking

Hoi,

Ik moet de volgende recurrente betrekking oplossen:

An+2 + An = 0, n0, A0=0 en A1=3

Ik kom tot het volgende en daar raak ik de kluts kwijt:

(1) Karakteristieke vergelijking: r^2 + 0 + 1 = 0
(2) Roots: +i en -i (complexe getallen)

Ik hoop dat ik het tot zo ver goed heb gedaan. Het is nu de bedoeling dat dit verder wordt omgezet in de standaard oplosvorm van dit type recurrente betrekking. Wie kan mij hierbij helpen en een aantal basisregels geven om soortgelijke problemen ook op te kunnen lossen?

Alvast mijn hartelijke dank!

Maikel Nijmeijer
12-2-2008

Antwoord

Om te beginnen: deze speciale differentievergelijking kun je zonder veel rekenwerk oplossen. Er geldt toch A_n+2=-A_n en daar haal je zo uit dat A_2n=(-1)ⁿA₀ en A_2n+1=(-1)ⁿA₁.
Met de algemene methode krijg je nu als algemene oplossing: c*iⁿ+d*(-i)ⁿ, met c en d nader te bepalen constanten. Vul n=0 en n=1 in: c+d=0 en c*i-d*i=3; daar haal je c en d uit en je zult zien dat je de hierboven gegeven oplossing krijgt.
Die basisregels staan in je boek; kijk nog maar eens goed waar die karakteristieke vergelijking vandaan komt, namelijk uit de vermoede vorm van de oplossing: A_n=rⁿ. Dat invullen levert de karakteristieke vergelijking. Als r₁ en r₂ bijvoorbeeld de oplossingen zijn is A_n=c*r₁ⁿ+d*r₂ⁿ de algemene oplossing van de differentievergelijking

kphart
13-2-2008